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Search: MSC category 26E10 ( $C^\infty$-functions, quasi-analytic functions [See also 58C25] )

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1. CJM 2015 (vol 68 pp. 88)

Jaffe, Ethan Y.
 Pathological Phenomena in Denjoy-Carleman Classes Let $\mathcal{C}^M$ denote a Denjoy-Carleman class of $\mathcal{C}^\infty$ functions (for a given logarithmically-convex sequence $M = (M_n)$). We construct: (1) a function in $\mathcal{C}^M((-1,1))$ which is nowhere in any smaller class; (2) a function on $\mathbb{R}$ which is formally $\mathcal{C}^M$ at every point, but not in $\mathcal{C}^M(\mathbb{R})$; (3) (under the assumption of quasianalyticity) a smooth function on $\mathbb{R}^p$ ($p \geq 2$) which is $\mathcal{C}^M$ on every $\mathcal{C}^M$ curve, but not in $\mathcal{C}^M(\mathbb{R}^p)$. Keywords:Denjoy-Carleman classes, quasianalytic functions, quasianalytic curve, arc-quasianalyticCategory:26E10

2. CJM 2004 (vol 56 pp. 1121)

Chaumat, Jacques; Chollet, Anne-Marie
 Division par un polynÃ´me hyperbolique On se donne un intervalle ouvert non vide $\omega$ de $\mathbb R$, un ouvert connexe non vide $\Omega$ de $\mathbb R_s$ et un polyn\^ome unitaire $P_m(z, \lambda) = z^m + a_1(\lambda)z^{m-1} = +\dots + a_{m-1}(\lambda) z + a_m(\lambda),$ de degr\'e $m>0$, d\'ependant du param\etre $\lambda \in \Omega$. Un tel polyn\^ome est dit $\omega$-hyperbolique si, pour tout $\lambda \in \Omega$, ses racines sont r\'eelles et appartiennent \a $\omega$. On suppose que les fonctions $a_k, \, k=1, \dots, m$, appartiennent \a une classe ultradiff\'erentiable $C_M(\Omega)$. On sint\'eresse au probl\eme suivant. Soit $f$ appartient \a $C_M(\Omega)$, existe-t-il des fonctions $Q_f$ et $R_{f,k},\, k=0, \dots, m-1$, appartenant respectivement \a $C_M(\omega \times \Omega)$ et \a $C_M(\Omega)$, telles que l'on ait, pour $(x,\lambda) \in \omega \times \Omega$, $f(x) = P_m(x,\lambda) Q_f (x,\lambda) + \sum^{m-1}_{k=0} x^k R_{f,k}(\lambda)~?$ On donne ici une r\'eponse positive d\es que le polyn\^ome est $\omega$-hyperbolique, que la class untradiff\'eren\-tiable soit quasi-analytique ou non ; on obtient alors, des exemples d'id\'eaux ferm\'es dans $C_M(\mathbb R^n)$. On compl\ete ce travail par une g\'en\'eralisation d'un r\'esultat de C.~L. Childress dans le cadre quasi-analytique et quelques remarques. Categories:26E10, 46E25, 46J20
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