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Search: MSC category 14G40 ( Arithmetic varieties and schemes; Arakelov theory; heights [See also 11G50, 37P30] )

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1. CJM Online first

Viada, Evelina
An explicit Manin-Dem'janenko theorem in elliptic curves
Let $\mathcal{C}$ be a curve of genus at least $2$ embedded in $E_1 \times \cdots \times E_N$ where the $E_i$ are elliptic curves for $i=1,\dots, N$. In this article we give an explicit sharp bound for the Néron-Tate height of the points of $\mathcal{C}$ contained in the union of all algebraic subgroups of dimension $\lt \max(r_\mathcal{C}-t_\mathcal{C},t_\mathcal{C})$ where $t_\mathcal{C}$, respectively $r_\mathcal{C}$, is the minimal dimension of a translate, respectively of a torsion variety, containing $\mathcal{C}$. As a corollary, we give an explicit bound for the height of the rational points of special curves, proving new cases of the explicit Mordell Conjecture and in particular making explicit (and slightly more general in the CM case) the Manin-Dem'janenko method in products of elliptic curves.

Keywords:height, elliptic curve, explicit Mordell conjecture, explicit Manin-Demjanenko theorem, rational points on a curve
Categories:11G50, 14G40

2. CJM 2010 (vol 63 pp. 86)

Chen, Xi
On Vojta's $1+\varepsilon$ Conjecture
We give another proof of Vojta's $1+\varepsilon$ conjecture.

Keywords:Vojta, 1+epsilon
Categories:14G40, 14H15

3. CJM 2009 (vol 61 pp. 1118)

Pontreau, Corentin
Petits points d'une surface
Pour toute sous-vari\'et\'e g\'eom\'etriquement irr\'eductible $V$ du grou\-pe multiplicatif $\mathbb{G}_m^n$, on sait qu'en dehors d'un nombre fini de translat\'es de tores exceptionnels inclus dans $V$, tous les points sont de hauteur minor\'ee par une certaine quantit\'e $q(V)^{-1}>0$. On conna\^it de plus une borne sup\'erieure pour la somme des degr\'es de ces translat\'es de tores pour des valeurs de $q(V)$ polynomiales en le degr\'e de $V$. Ceci n'est pas le cas si l'on exige une minoration quasi-optimale pour la hauteur des points de $V$, essentiellement lin\'eaire en l'inverse du degr\'e. Nous apportons ici une r\'eponse partielle \`a ce probl\`eme\,: nous donnons une majoration de la somme des degr\'es de ces translat\'es de sous-tores de codimension $1$ d'une hypersurface $V$. Les r\'esultats, obtenus dans le cas de $\mathbb{G}_m^3$, mais compl\`etement explicites, peuvent toutefois s'\'etendre \`a $\mathbb{G}_m^n$, moyennant quelques petites complications inh\'erentes \`a la dimension $n$.

Keywords:Hauteur normalisée, groupe multiplicatif, problème de Lehmer, petits points
Categories:11G50, 11J81, 14G40

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