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Search: MSC category 53A30 ( Conformal differential geometry )

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1. CJM Online first

Xiao, Jie; Ye, Deping
Anisotropic Sobolev Capacity with Fractional Order
In this paper, we introduce the anisotropic Sobolev capacity with fractional order and develop some basic properties for this new object. Applications to the theory of anisotropic fractional Sobolev spaces are provided. In particular, we give geometric characterizations for a nonnegative Radon measure $\mu$ that naturally induces an embedding of the anisotropic fractional Sobolev class $\dot{\Lambda}_{\alpha,K}^{1,1}$ into the $\mu$-based-Lebesgue-space $L^{n/\beta}_\mu$ with $0\lt \beta\le n$. Also, we investigate the anisotropic fractional $\alpha$-perimeter. Such a geometric quantity can be used to approximate the anisotropic Sobolev capacity with fractional order. Estimation on the constant in the related Minkowski inequality, which is asymptotically optimal as $\alpha\rightarrow 0^+$, will be provided.

Keywords:sharpness, isoperimetric inequality, Minkowski inequality, fractional Sobolev capacity, fractional perimeter
Categories:52A38, 53A15, 53A30

2. CJM 2012 (vol 65 pp. 266)

Bérard, Vincent
Les applications conforme-harmoniques
Sur une surface de Riemann, l'énergie d'une application à valeurs dans une variété riemannienne est une fonctionnelle invariante conforme, ses points critiques sont les applications harmoniques. Nous proposons ici un analogue en dimension supérieure, en construisant une fonctionnelle invariante conforme pour les applications entre deux variétés riemanniennes, dont la variété de départ est de dimension $n$ paire. Ses points critiques satisfont une EDP elliptique d'ordre $n$ non-linéaire qui est covariante conforme par rapport à la variété de départ, on les appelle les applications conforme-harmoniques. Dans le cas des fonctions, on retrouve l'opérateur GJMS, dont le terme principal est une puissance $n/2$ du laplacien. Quand $n$ est impaire, les mêmes idées permettent de montrer que le terme constant dans le développement asymptotique de l'énergie d'une application asymptotiquement harmonique sur une variété AHE est indépendant du choix du représentant de l'infini conforme.

Categories:53C21, 53C43, 53A30

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