For a Lie group $G$, we show that the map $C^\infty_c(G)\times C^\infty_c(G)\to C^\infty_c(G)$, $(\gamma,\eta)\mapsto \gamma*\eta$ taking a pair of test functions to their convolution is continuous if and only if $G$ is $\sigma$-compact. More generally, consider $r,s,t \in \mathbb{N}_0\cup\{\infty\}$ with $t\leq r+s$, locally convex spaces $E_1$, $E_2$ and a continuous bilinear map $b\colon E_1\times E_2\to F$ to a complete locally convex space $F$. Let $\beta\colon C^r_c(G,E_1)\times C^s_c(G,E_2)\to C^t_c(G,F)$, $(\gamma,\eta)\mapsto \gamma *_b\eta$ be the associated convolution map. The main result is a characterization of those $(G,r,s,t,b)$ for which $\beta$ is continuous. Convolution of compactly supported continuous functions on a locally compact group is also discussed, as well as convolution of compactly supported $L^1$-functions and convolution of compactly supported Radon measures.

On se donne un intervalle ouvert non vide $\omega$ de $\mathbb R$, un ouvert connexe non vide $\Omega$ de $\mathbb R_s$ et un polyn\^ome unitaire \[ P_m(z, \lambda) = z^m + a_1(\lambda)z^{m-1} = +\dots + a_{m-1}(\lambda) z + a_m(\lambda), \] de degr\'e $m>0$, d\'ependant du param\`etre $\lambda \in \Omega$. Un tel polyn\^ome est dit $\omega$-hyperbolique si, pour tout $\lambda \in \Omega$, ses racines sont r\'eelles et appartiennent \`a $\omega$. On suppose que les fonctions $a_k, \, k=1, \dots, m$, appartiennent \`a une classe ultradiff\'erentiable $C_M(\Omega)$. On s`int\'eresse au probl\`eme suivant. Soit $f$ appartient \`a $C_M(\Omega)$, existe-t-il des fonctions $Q_f$ et $R_{f,k},\, k=0, \dots, m-1$, appartenant respectivement \`a $C_M(\omega \times \Omega)$ et \`a $C_M(\Omega)$, telles que l'on ait, pour $(x,\lambda) \in \omega \times \Omega$, \[ f(x) = P_m(x,\lambda) Q_f (x,\lambda) + \sum^{m-1}_{k=0} x^k R_{f,k}(\lambda)~? \] On donne ici une r\'eponse positive d\`es que le polyn\^ome est $\omega$-hyperbolique, que la class untradiff\'eren\-tiable soit quasi-analytique ou non ; on obtient alors, des exemples d'id\'eaux ferm\'es dans $C_M(\mathbb R^n)$. On compl\`ete ce travail par une g\'en\'eralisation d'un r\'esultat de C.~L. Childress dans le cadre quasi-analytique et quelques remarques.