Dans cet article on \'etudie la diff\'erence entre les deux premi\`eres valeurs propres, le splitting, d'un op\'erateur de Klein--Gordon semi-classique unidimensionnel, dans le cas d'un potentiel sym\'etrique pr\'esentant un double puits. Dans le cas d'une petite barri\`ere de potentiel, B. Helffer et B. Parisse ont obtenu des r\'esultats analogues \`a ceux existant pour l'op\'erateur de Schr\"odinger. Dans le cas d'une grande barri\`ere de potentiel, on obtient ici des estimations des tranform\'ees de Fourier des fonctions propres qui conduisent \`a une conjecture du splitting. Des calculs num\'eriques viennent appuyer cette conjecture.