Soit $G$ un groupe fini agissant sur une courbe alg\'ebrique projective et lisse $X$ sur un corps alg\'ebriquement clos $k$. Dans cet article, on donne une formule de Riemann-Roch pour la caract\'eristique d'Euler \'equivariante d'un $G$-faisceau inversible $\mathcal{L}$, \`a valeurs dans l'anneau $R_k (G)$ des caract\`eres du groupe $G$. La formule donn\'ee a un bon comportement fonctoriel en ce sens qu'elle rel\`eve la formule classique le long du morphisme $\dim \colon R_k (G) \to \mathbb{Z}$, et est valable m\^eme pour une action sauvage. En guise d'application, on montre comment calculer explicitement le caract\`ere de l'espace des sections globales d'une large classe de $G$-faisceaux inversibles, en s'attardant sur le cas particulier d\'elicat du faisceau des diff\'erentielles sur la courbe.