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Le Défi ouvert canadien de mathématiques Financière Sun Life 2014 - 6/7 nov

Le Défi ouvert canadien de mathématiques Financière Sun Life 2014 - 6/7 nov


Robert Woodrow

Problème de la semaine

— Robert Woodrow, président du comité du DOCM 2014

Les problèmes du DOCM se divisent en trois parties. Pour la partie A, il n'est pas nécessaire d'écrire ses démarches dans la solution. Il est même possible de résoudre les problèmes sans avoir à écrire quoi que ce soit. Les problèmes de la partie B présentent un défi plus élevé et nécessitent des connaissances un peu plus poussées. Pour ceux-ci, vous aurez sans doute besoin de papier et d'un crayon. Les problèmes de la partie C nécessitent des réponses complètes avec justification pour les arguments proposés.

Puisque les examens du DOCM des années précédentes sont disponibles sur le site de la SMC, les problèmes présentés ici proviennent d'autres concours canadiens ou internationaux et visent à vous donner un différent type de défi. J'espère que vous apprécierez cette sélection de problèmes et que ceux-ci vous prépareront adéquatement au DOCM qui aura lieu en novembre. Les solutions aux problèmes de la semaine seront présentées avec les questions de la semaine suivante. Il sera ainsi possible pour vous de comparer votre travail avec les solutions proposées.

Nous publierons les solutions aux problèmes la semaine suivante. Nous avertissons toutefois les enseignants qu’il se pourrait que des étudiants déterminés trouvent les solutions ailleurs en ligne avant qu’ils soient publiés ici.

Pour obtenir d’autres ensembles de problèmes et de solutions à chacun de ces niveaux, n’hésitez pas à télécharger les anciens examens officiels et leurs solutions dans nos archives.

Semaine 7

  • Problème (publié le 14 octobre)

    Cette semaine, on propose un problème de géométrie qui ne nécessite que quelques résultats de base et de la trigonométrie.

    Soit $k$ un cercle avec centre $O$ et $AB$ une corde de $k$ dont le point milieu $M$ esl distinct de $O.$ Le rayon du cercle qui passe par $M$ touche $k$ en $R.$ Soit $P$ un point sur l'arc mineur $AR$ de $k$, $Q$ l'intersection de $PM$ avec $k$ et $S$ l'intersection de $AB$ et $QR$. Quel segment est le plus long, $RS$ or $PM?$

  • Solution (revenez le 21 octobre)

Semaine 6

  • Problème (publié le 7 octobre)

    Cette semaine, on travaille avec des inégalités!

    Soit $p,q,$ et $r$ des nombres réels positifs et $n$ un entier supérieur ou égal à $1$. Si $pqr = 1$, montrez que $$ \frac{1}{p^n+q^n+1} + \frac{1}{q^n + r^n +1} + \frac{1}{r^n + p^n +1} \leq 1.$$

  • Solution (publié le 14 octobre)

    C'était le problème 3 de la Compétition Mathématique «Baltic Way» de 2004 aussi donné dans le Crux Mathematicorum [2008:211-213]. La solution est de Titu Zvonaru, Roumanie, et est apparue dans le Crux [2009:150-151].

    Soit $p^n = x^3, q^n= y^3,$ et $r^n = z^3.$ On doit montrer que si $xyz =1$ alors $$ \frac{1}{x^3+y^3+1} + \frac{1}{y^3+z^3+1} +\frac{1}{z^3 + x^3 +1} \leq 1,$$ ou de façon équivalente, on doit montrer que $$ \frac{1}{x^3 + y^3 + xyz} + \frac{1}{y^3 + z^3 + xyz } + \frac{1}{z^3 +x^3 +xyz} \leq 1.$$ Puisque $x$ et $y$ sont positifs, $(x-y)^2(x+y) \geq 0$ et donc $(x-y)(x^2-y^2) \geq 0,$ ainsi $x^3 + y^3 \geq xy(x+y).$ On a donc que

    ${\large \begin{array}{llllll} & \frac{1}{x^3+y^3+xyz} & + & \frac{1}{y^3+z^3+xyz} & + & \frac{1}{z^3+y^3 +xyz} \newline \leq & \frac{1}{xy(x+y) +xyz} & + & \frac{1}{yz(y+z) +xyz} & + & \frac{1}{zx(z+x) + xyz} \newline = & \frac{x+y+z}{xyz(x+y+z)} & = & 1. & & \end{array} }$

    L'égalité tient si et seulement si $x=y=z=1$, ou si et seulement si $p=q=r=1.$

Semaine 5

  • Problème (publié le 30 septembre)

    Cette semaine, on fait du dénombrement et on travaille avec des sommes.

    De combien de façons est-ce que le nombre $2000$ peut être écrit comme une somme de trois entiers strictement positifs pas nécessairement différents? (Des sommes comme $1+2+3$ et $3 +2 +1 $ sont considérées identiques.)
  • Solution (publié le 7 octobre)

    C'était le problème 1 du Concours Mathématique Nordique et ce problème est apparu dans le Crux Mathematicorum [2003:435]. La solution est due à Michel Bataille de Rouen, France. Elle est apparue dans le Crux Mathematicorum [2004:381].

    On doit trouver le nombre de triplets $(n_1,n_2,n_3)$ d'entiers tels que $ 1 \leq n_1 \leq n_2 \leq n_3$ et $n_1 + n_2 + n_3 = 2000.$ Ce nombre est 333333, l'entier le plus près de $2000^2/12$, comme nous le montrerons bientôt.

    Plus généralement, soit $n$ un entier $n\geq 3$, et $t_n$ le nombre de triplets $(n_1,n_2,n_3)$ tels que $1 \leq n_1 \leq n_2 \leq n_3$ et $n_1+n_2+n_3 = n$. Pour $n \geq 2$, on dénote de manière similaire $d_n$ le nombre de paires $(n_1,n_2)$ telles que $1 \leq n_1 \leq n_2$ et $n_1 + n_2 =n.$

    Il est clair que $d_2 = d_3 = 1$ et plus généralement, on voit que $d_n = n/2$ si $n$ est pair et $d_n = (n-1)/2$ si $n$ est impair. Pour $t_n$, on trouve que $t_3 = t_4 = 1$ et $t_5 =2.$ Pour $n \geq 6$, on a la relation $t_n = d_{n-1} +t_{n-3}$ puisqu'il y a $d_{n-1}$ triplets pour lesquels $n_1 =1$ et que l'ensemble des triplets pour lesquels $n_1 \geq 2$ est en bijection avec l'ensemble des triplets $(n_1-1,n_2-1,n_3-1)$ dont la somme des entrées est $n-3.$

    Maintenant, supposons que $n = 6k +2$ pour un certain entier positif $k$. Alors $$\begin{array}{ccc} t_n & = & (t_{6k+2}-t_{6k-1})+ (t_{6k-1} -t_{6k-4}) + \cdots \newline & & +(t_{11}-t_8) + (t_8 -t_5) +t_5 \newline & = & d_{6k+1} + d_{6k-2} + d_{6k-5} + \cdots + d_7 + d_5 \newline & = & 3k +(3k-1) + (3k -3) + (3k-4) + \cdots + 6 + 5 + 3 + 2 \newline & = & \frac{k(3k+1)}{2} + \frac{k(3k+1)}{2} = k(3k+2) = \frac{n^2}{12} - \frac{1}{3}, \end{array}$$ qui est l'entier le plus près de $n^2/12.$ Pour $n=2000$ ceci nous donne $t_n = 333333.$ (En traitant les cas $n=6k, 6k+1,6k+3, 6k+4, 6k+5$ de la même façon, il est facile de montrer que $t_n$ est toujours l'entier le plus près de $n^2/12$).

Semaine 4

  • Problème (publié le 23 septembre)

    Cette semaine, on étudie ce qu'on appelle une équation fonctionnelle.

    Trouvez toutes les fonctions $f : \mathbb {R} \rightarrow {\mathbb R}$ telles que $$ f(xf(x) + f(y)) = x^2 +y$$ pour tout $x \in \mathbb {R}$ et $y \in \mathbb{R}.$

  • Solution (publié le 30 septembre)

    Il s'agissait du problème 6 de la 11ème Olympiade Mathématique d'Ukraine. La question a aussi été proposée dans le Crux Mathematicorum [2006:217-218]. La solution de Li Zhou du Polk Community College est apparue dans le Crux Mathematicorum [2007:228].

    Il est facile de vérifier que $f(x) = x$ et $f(x) = -x$ satisfont l'équation fonctionnelle. On va montrer qu'il s'agit des seules solutions.

    Soit $f$ une solution à l'équation. En posant $x=0$ dans l'équation fonctionnelle, on trouve $f(f(y)) = y$ pour tout $y \in \mathbb {R}.$ Donc, pour tout $x, y \in \mathbb {R},$ $$x^2+y = f(xf(x)+f(y)) = f(f(x)f(f(x)) + f(y)) = f(x)^2 +y.$$ Ainsi, $f(x)^2 = x^2$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Si $f(1)=1$, alors $$ 1+2x+x^2 = f(1+x)^2 =f(1f(1) + f(f(x)))^2$$ $$ = (1^2 +f(x))^2 = 1 +2f(x) +x^2,$$ et donc $f(x) = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}.$

    De la même façon, si $f(1)= -1$, alors $$ 1-2x+x^2 = f(-1+x)^2 = f(1f(1) + f(f(x)))^2$$ $$ = (1^2 +f(x))^2 = 1 + 2f(x) +x^2,$$ et donc $f(x) = -x$ pour tout $ x \in \mathbb{R}.$

Semaine 3

  • Problème (publié le 16 septembre)

    Cette semaine, le problème proposé tire ses origines de l'algèbre enseignée au niveau secondaire.

    Soit $x,y,$ et $z$ des nombres réels tels que $\begin{array}{ccc} x+y+z =3 & \mbox{et} & xy + yz + xz = a \end{array}$, où $a$ est une constante réelle. Déterminez la valeur de la constante $a$ pour laquelle la différence entre la valeur maximale et minimale de $x$ vaut $8.$

  • Solution (publié le 23 septembre)

    C'était le problème 1 de la 7ème Olympiade nationale de Bosnie-Herzegovine en 2002, aussi proposé dans le Crux Mathematicorum [2005:436]. La solution est de Pierre Bornsztein, de Maisons-Laffitte, France. Elle est apparue dans le Crux Mathematicorum [2007:22].

    On a que $y+z = 3-x$ et donc $yz = a -x(3-x).$ Il est facile de vérifier que le système $$\begin{array}{ccc} y+z & = & s \newline yz & = & p \end{array}$$ avec des inconnues $y$ et $z$, a une solution réelle si et seulement si $s^2 -4p \geq 0.$

    Ainsi, la seule condition à vérifier pour qu'il y ait une solution est $(3-x)^2 \geq 4(a-3x + x^2),$ qu'on réécrit $3(x-1)^2 \leq 4(3-a).$ Il est donc nécessaire que $a\leq 3$ et on a $$1-2 \sqrt{1 - \frac{1}{3}a} \leq x \leq 1 + 2 \sqrt{1 \ \frac{1}{3}a}.$$ La différence entre la valeur maximale et minimale pour $x$ vaut $8$ si et seulement si $4\sqrt{1-\frac{1}{3}a} = 8,$ ce qui implique que $a = -9.$

Semaine 2

  • Problème (publié le 9 septembre)

    Un certain temps est nécessaire pour trouver comment aborder le problème!

    Deux voitures sont à 100 mètres de distance et voyagent dans le même sens sur une route à la vitesse limite de 60 km/h. À un certain moment, la vitesse limite augmente à 80 km/h. Plus tard, celle-ci augmente à 100 km/h. Un peu plus loin, la limite augmente à 120 km/h. Lorsqu'une voiture arrive à un panneau de changement de vitesse, celle-ci change immédiatement de vitesse pour prendre la vitesse limite. Lorsque les deux voitures avancent simultanément à 120 km/h, à quelle distance sont-elles l'une de l'autre?

  • Solution (publié le 16 septembre)

    Il s'agissait du problème 3 de la deuxième partie de l'édition 2013-2014 du «Alberta High School Prize Examination».

    Supposons que la première voiture est au point $B$ pendant que la deuxième voiture est au point $A$, deux points dans la zone de 60 km/h. Alors $AB = 100$ mètres. Supposons que la première voiture est au point $D$ pendant que la deuxième voiture est au point $C$, deux points dans la zone de 120 km/h. Le temps que prends la deuxième voiture pour passer du point $A$ au point $C$ est le même que pour passer du point $B$ au point $D$. Les deux voitures prennent le même temps pour passer du point $B$ au point $C$. Ainsi, le temps que prend la deuxième voiture pour passer du point $A$ au point $B$ à 60 km/h est égal au temps que prends la première voiture pour passer du point $C$ au point $D$ à 120 km/h. On trouve donc que $CD =2 AB = 200$ mètres.

Semaine 1

  • Problème (publié le 2 septembre)

    Deux problèmes sont proposés pour la première semaine. Le premier est un puzzle et aucune démarche n’est demandée. Dans le deuxième, on traitera de divisibilité et des chiffres qui com- posent l’écriture d’un nombre. Pour celui-ci, vous devrez justifier votre solution.

    Problème A
    Dans une maison, il y a un certain nombre de poissons, d’oiseaux et de chats. Au total il y a 15 têtes et 14 pattes. S’il y a plus d’un animal de chaque type dans la maison, combien y a-t-il de poissons?

    Problème B
    On place 2014 chiffres en ligne. Toute paire de chiffre adjacents dans la ligne forment un nombre divisible par 17 ou 23.

    1. Si le dernier chiffre de la ligne est un 1, quelle valeur peut prendre le premier chiffre de la ligne?
    2. Si le premier chiffre de la ligne est un 9, quelle valeur peut prendre le dernier chiffre de la ligne?
  • Solution (publié le 9 septembre)

    Problème A
    [ Il s’agit du problème A6 de l’édition 2014 du Concours de mathématiques junior de Calgary.]
    On pose $P$ comme le nombre de poissons, $O$ pour le nombre d'oiseaux et $C$ comme le nombre de chats. La condition des pattes nous donne $2O +4C =14$, donc $O + 2C =7$. La condition des têtes nous donne $P+O+C = 15$. Comme il y a au moins deux animaux de chaque type, il y a au moins deux chats. Il ne peut y avoir plus de 2 chats, donc $C=2$ et $O=3$. On trouve ainsi que $P = 15-2-3 =10.$

    Problème B
    [ Il s’agit du problème B2 de l’édition 2014 du Concours de mathématiques junior de Calgary. ]

    1. Les nombres à deux chiffres qui sont multiples de $17$ sont $17,\ 34, \ 51, \ 68 $ et $85.$ Les multiples de $23$ sont $23,\ 46,\ 69$ et $92.$ On peut ensuite travailler à partir du premier chiffre connu pour déterminer la valeur de celui qui le précède dans la ligne. On commence avec la paire $x1$ et la seule possibilité pour $x$ est $5$. Ceci nous donne que $51$ termine la ligne. Avec $x5$ on trouve $851$, puis $6851$, $46851$,$346851$, $2346851$,$92346851$ et $692346851$. Il est ensuite clair que la séquence $92346$ de longueur $5$ se répètera. Puisque $2014 = 402 \times 5 + 4$, il y aura $402$ blocs de $69234$ suivis de $6851$. Le premier chiffre de la ligne est donc un $6.$
    2. On utilise la même méthode en travaillant cette fois du début vers la fin de la ligne. Le $9y$ nous force à ce que $92$ débute la ligne, puis on trouve $923$, $9234$ et $92346$. À ce point, il y a deux candidats possibles: un multiple de $17$, soit $68$ et un multiple de $23$, soit $69$. Traitons tout d'abord le cas où la ligne se poursuit avec $68$, i.e la séquence initiale à partir du début est $923468$. On trouve ensuite $9234685$, $92346851$ et $923468517$. À ce point, nous sommes bloqués puisqu'il n'y a aucun nombre de la forme $7y$ dans nos listes. On traite ensuite le cas où $69$ poursuit la séquence. Comme dans la partie a), on remarque que dans ce cas le cycle $92346$ de longueur $5$ est formé. On remarque finalement qu'il y a deux possibilités différentes pour la ligne. Le premier consiste en $402$ blocs de $92346$ terminés par $8517$ et l'autre consiste en $402$ blocs de $92346$ terminés par $9234$. Les deux possibilités pour le dernier chiffre de la ligne sont $4$ et $7.$

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