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PROBLÈMES DE JUIN

Veuillez envoyer vos solutions à
Professeur E.J. Barbeau
Department of Mathematics
University of Toronto
Toronto, ON M5S 3G3
au plus tard le 15 août 2001.


85.
Trouvez toutes les paires (a,b) d'entiers positifs telles que ab et le système

cosax+cosbx=0


asinax+bsinbx=0

a une solution. Dans chaque cas, déterminez ces solutions.

86.
Soit ABCD, un quadrilatère convexe tel que AB=AD et CB=CD.
(a) Démontrez qu'il est possible d'y inscrire un cercle.
(b) Démontrez qu'on peut y circonscrire un cercle si et seulement si ABBC.
(c) Si ABAC et R,r sont les rayons respectifs des cercles circonscrit et inscrit, démontrez que la distance entre les centres des deux cercles est la racine carrée de R2 + r2 -r r2 +4 R2 .

87.
Démontrez que si, pour tout entier positif n, les nombres entiers a, b et c satisfont à l'équation

na+nb=nc,

alors au moins un des nombres a et b doit être entier.

88.
Soit I, un intervalle réel de longueur 1/n. Démontrez que I ne peut contenir plus de 1 2 (n+1) fractions de la forme p/q, où p et q sont des entiers positifs tels que 1pn et le plus grand diviseur commun de p et q est 1.

89.
Démontrez qu'il existe un seul triplet d'entiers positifs a,b,c supérieurs à 1 tel que ab+1 est un multiple de c, bc+1 est un multiple de a et ac+1 est un multiple de b.

90.
Soit m, un entier positif, et f(m) la plus petite valeur n pour laquelle l'affirmation suivante est vraie:
étant donné n'importe quel ensemble de n entiers, il est possible d'y choisir m entiers dont la somme est divisible par m
Déterminez f(m).

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