PROBLÈMES DE JUIN

Canadian Mathematical Society

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Veuillez envoyer vos solutions à

Professeur E.J. Barbeau

Department of Mathematics

University of Toronto

Toronto, ON M5S 3G3

au plus tard le 15 août 2001.

85.: Trouvez toutes les paires $(a, b)$ d'entiers positifs telles que $a \neq b$ et le système

\cos ax + \cos bx = 0

a \sin ax + b \sin bx = 0

a une solution. Dans chaque cas, déterminez ces solutions.

: (b) Démontrez qu'on peut y circonscrire un cercle si et seulement si $AB ⊥ BC$ .

: (c) Si $AB ⊥ AC$ et $R, r$ sont les rayons respectifs des cercles circonscrit et inscrit, démontrez que la distance entre les centres des deux cercles est la racine carrée de $R^{2} + r^{2} - r \sqrt{r^{2} + 4 R^{2}}$ .

87.: Démontrez que si, pour tout entier positif $n$ , les nombres entiers $a$ , $b$ et $c$ satisfont à l'équation

⌊ na ⌋ + ⌊ nb ⌋ = ⌊ nc ⌋,

alors au moins un des nombres

a

b

doit être entier.

88.: Soit $I$ , un intervalle réel de longueur $1 / n$ . Démontrez que $I$ ne peut contenir plus de $\frac{1}{2} (n + 1)$ fractions de la forme $p / q$ , où $p$ et $q$ sont des entiers positifs tels que $1 \leq p \leq n$ et le plus grand diviseur commun de $p$ et $q$ est 1.

89.: Démontrez qu'il existe un seul triplet d'entiers positifs $a, b, c$ supérieurs à 1 tel que $ab + 1$ est un multiple de $c$ , $bc + 1$ est un multiple de $a$ et $ac + 1$ est un multiple de $b$ .

90.: Soit $m$ , un entier positif, et $f (m)$ la plus petite valeur $n$ pour laquelle l'affirmation suivante est vraie:

: étant donné n'importe quel ensemble de $n$ entiers, il est possible d'y choisir $m$ entiers dont la somme est divisible par $m$

Déterminez

f (m)