PROBLÈMES D'AOÛT

Canadian Mathematical Society

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PROBLÈMES D'AOÛT

Veuillez envoyer vos solutions à

E.J. Barbeau

Department of Mathematics

University of Toronto

Toronto, ON M5S 3G3

au plus tard le 30 septembre 2001. Ne soumettez pas vos solutions sous forme d'attachement électronique, à moins qu'il ne s'agisse d'un fichier TeX Assurez-vous que votre nom, adresse et adresse courriel figurent sur la première page de votre envoi.

Notes. Une hyperbole rectangulaire est une hyperbole dont les assymptotes sont perpendiculaires.

97.: Les trois sommets d'un triangle sont situés sur une hyperbole rectangulaire. Démontrez que l'orthocentre de ce triangle est aussi sur cette hyperbole.

98.: Étant donné $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n + 1}, b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}$ , des nombres réels non négatifs tels que

(i)

a_{1} \geq a_{2} \geq \dots \geq a_{n + 1} = 0

(ii) pour

k = 1, 2, \dots, n

on a

0 \leq b_{k} \leq 1

: Supposons que $m = ⌊ b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n} ⌋ + 1$ . Démontrez que

\sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k} \leq \sum_{k = 1}^{m} a_{k} .

99.: Dans un triangle $ABC$ on choisit un point $E$ sur le côté $AB$ et un point $F$ sur le côté $BC$ tels que $AE = CF$ . Les cercles déterminés respectivement par les points $A, B, F$ et $B, C, E$ s'intersectent en deux points $B$ et $D$ . Démontrez que la droite passant par $B$ et $D$ est la bissectrice de l'angle $ABC$ .

100.: Dix points sont disposés régulierement autour d'un cercle. En joignant les points consécutifs, on obtient un décagone régulier $P$ inscrit dans le cercle. En joignant chaque point au troisième point qui le suit (dans le sens horaire), on obtient un ``décagone régulier à auto-intersections'' $Q$ . Démontrez que la différence entre la longueur du côté de $Q$ et celle du côté de $P$ est égale au rayon du cercle. [Merci à Ross Honsberger.]

101.: Soit $a, b, u, v$ , des réels non négatifs. Démontrez que si $a^{5} + b^{5} \leq 1$ et $u^{5} + v^{5} \leq 1$ , alors

a^{2} u^{3} + b^{2} v^{3} \leq 1 .

[Merci à Ross Honsberger.]

102.: Démontrez qu'il existe un tétrahèdre $ABCD$ dont toutes les faces sont des triangles rectangles similaires ayant des angles aigus à $A$ et $B$ . Déterminez quelle arête est la plus longue, laquelle est la plus courte, et le rapport entre leurs longueurs.

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