Canadian Mathematical Society

www.cms.math.ca

	\|		\|	Français
	\|	Site map	\|	CMS store

location:

PROBLÈMES D'AVRIL

Veuillez envoyer vos solutions à

Dr. Valeria Pandelieva

641 Kirkwood Avenue

Ottawa, ON K1Z 5X5

au plus tard le 31 mai, 2001, et au plus tôt le 21 mai, 2001.

(\sqrt{2 + \sqrt{2}})^{x} + (\sqrt{2 - \sqrt{2}})^{x} = 2^{x} .

74.: Démontrez que dans n'importe quelle collection de $n + 2$ nombres naturels, on peut en trouver deux dont la somme ou la différence est divisible par $2 n$ .

75.: Trois nombres naturels consécutifs, tous plus grands que $3$ , représentent les longueurs des côtés d'un triangle. L'aire de ce triangle est aussi un nombre entier.

: (a) Démontrez qu'une des altitudes coupe le triangle en deux triangles dont les longueurs de côtés sont aussi des nombres entiers.

: (b) L'altitude identifiée en (a) divise le côté qui lui est perpendiculaire en deux segments. Trouvez la différence entre les longueurs de ces segments.

\log x + \frac{\log ({xy}^{8})}{\log^{2} x + \log^{2} y} = 2,

\log y + \frac{\log (x^{8} / y)}{\log^{2} x + \log^{2} y} = 0 .

(Les logarithmes sont en base 10.)

77.: $n$ points sont choisis de la circonférence ou de l'intérieur d'un hexagone régulier dont les côtés ont longueur $1$ tels que la distance entre chaque paire de points est au moins $\sqrt{2}$ . Quelle est la plus grande valeur possible de $n$ ?

78.: Un camion a parcouru le trajet de la ville $A$ à la ville $B$ en plusieurs jours. Au cours de la première journée, il a parcouru $1 / n$ de la distance totale, où $n$ est un nombre naturel. La deuxième journée, il a parcouru $1 / m$ de la distance restante, où $m$ est un nombre naturel. La troisième journée, il a parcouru $1 / n$ de la distance qui restait après la deuxième journée, et la quatrième journée, $1 / m$ de la distance qui restait après la troisième journée. On sait qu'après quatre jours, $3 / 4$ de la distance entre $A$ et $B$ est couverte, et $m < n$ . Déterminez $m$ et $n$ .