Résonances près de seuils d'opérateurs magnétiques de Pauli et de Dirac

http://dx.doi.org/10.4153/CJM-2012-057-7
26 pages

  Published:2013-02-06
 

Nous considérons les perturbations $H := H_{0} + V$ et $D := D_{0} + V$ des Hamiltoniens libres $H_{0}$ de Pauli et $D_{0}$ de Dirac en dimension 3 avec champ magnétique non constant, $V$ étant un potentiel électrique qui décroît super-exponentiellement dans la direction du champ magnétique. Nous montrons que dans des espaces de Banach appropriés, les résolvantes de $H$ et $D$ définies sur le demi-plan supérieur admettent des prolongements méromorphes. Nous définissons les résonances de $H$ et $D$ comme étant les pôles de ces extensions méromorphes. D'une part, nous étudions la répartition des résonances de $H$ près de l'origine $0$ et d'autre part, celle des résonances de $D$ près de $\pm m$ où $m$ est la masse d'une particule. Dans les deux cas, nous obtenons d'abord des majorations du nombre de résonances dans de petits domaines au voisinage de $0$ et $\pm m$. Sous des hypothèses supplémentaires, nous obtenons des développements asymptotiques du nombre de résonances qui entraînent leur accumulation près des seuils $0$ et $\pm m$. En particulier, pour une perturbation $V$ de signe défini, nous obtenons des informations sur la répartition des valeurs propres de $H$ et $D$ près de $0$ et $\pm m$ respectivement.