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Petits points d'une surface

  Published:2009-10-01
 Printed: Oct 2009
  • Corentin Pontreau
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Abstract

Pour toute sous-vari\'et\'e g\'eom\'etriquement irr\'eductible $V$ du grou\-pe multiplicatif $\mathbb{G}_m^n$, on sait qu'en dehors d'un nombre fini de translat\'es de tores exceptionnels inclus dans $V$, tous les points sont de hauteur minor\'ee par une certaine quantit\'e $q(V)^{-1}>0$. On conna\^it de plus une borne sup\'erieure pour la somme des degr\'es de ces translat\'es de tores pour des valeurs de $q(V)$ polynomiales en le degr\'e de $V$. Ceci n'est pas le cas si l'on exige une minoration quasi-optimale pour la hauteur des points de $V$, essentiellement lin\'eaire en l'inverse du degr\'e. Nous apportons ici une r\'eponse partielle \`a ce probl\`eme\,: nous donnons une majoration de la somme des degr\'es de ces translat\'es de sous-tores de codimension $1$ d'une hypersurface $V$. Les r\'esultats, obtenus dans le cas de $\mathbb{G}_m^3$, mais compl\`etement explicites, peuvent toutefois s'\'etendre \`a $\mathbb{G}_m^n$, moyennant quelques petites complications inh\'erentes \`a la dimension $n$.
Keywords: Hauteur normalisée, groupe multiplicatif, problème de Lehmer, petits points Hauteur normalisée, groupe multiplicatif, problème de Lehmer, petits points
MSC Classifications: 11G50, 11J81, 14G40 show english descriptions Heights [See also 14G40, 37P30]
Transcendence (general theory)
Arithmetic varieties and schemes; Arakelov theory; heights [See also 11G50, 37P30]
11G50 - Heights [See also 14G40, 37P30]
11J81 - Transcendence (general theory)
14G40 - Arithmetic varieties and schemes; Arakelov theory; heights [See also 11G50, 37P30]
 

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