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Division par un polynôme hyperbolique

  Published:2004-12-01
 Printed: Dec 2004
  • Jacques Chaumat
  • Anne-Marie Chollet
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Abstract

On se donne un intervalle ouvert non vide $\omega$ de $\mathbb R$, un ouvert connexe non vide $\Omega$ de $\mathbb R_s$ et un polyn\^ome unitaire \[ P_m(z, \lambda) = z^m + a_1(\lambda)z^{m-1} = +\dots + a_{m-1}(\lambda) z + a_m(\lambda), \] de degr\'e $m>0$, d\'ependant du param\`etre $\lambda \in \Omega$. Un tel polyn\^ome est dit $\omega$-hyperbolique si, pour tout $\lambda \in \Omega$, ses racines sont r\'eelles et appartiennent \`a $\omega$. On suppose que les fonctions $a_k, \, k=1, \dots, m$, appartiennent \`a une classe ultradiff\'erentiable $C_M(\Omega)$. On s`int\'eresse au probl\`eme suivant. Soit $f$ appartient \`a $C_M(\Omega)$, existe-t-il des fonctions $Q_f$ et $R_{f,k},\, k=0, \dots, m-1$, appartenant respectivement \`a $C_M(\omega \times \Omega)$ et \`a $C_M(\Omega)$, telles que l'on ait, pour $(x,\lambda) \in \omega \times \Omega$, \[ f(x) = P_m(x,\lambda) Q_f (x,\lambda) + \sum^{m-1}_{k=0} x^k R_{f,k}(\lambda)~? \] On donne ici une r\'eponse positive d\`es que le polyn\^ome est $\omega$-hyperbolique, que la class untradiff\'eren\-tiable soit quasi-analytique ou non ; on obtient alors, des exemples d'id\'eaux ferm\'es dans $C_M(\mathbb R^n)$. On compl\`ete ce travail par une g\'en\'eralisation d'un r\'esultat de C.~L. Childress dans le cadre quasi-analytique et quelques remarques.
MSC Classifications: 26E10, 46E25, 46J20 show english descriptions $C^\infty$-functions, quasi-analytic functions [See also 58C25]
Rings and algebras of continuous, differentiable or analytic functions {For Banach function algebras, see 46J10, 46J15}
Ideals, maximal ideals, boundaries
26E10 - $C^\infty$-functions, quasi-analytic functions [See also 58C25]
46E25 - Rings and algebras of continuous, differentiable or analytic functions {For Banach function algebras, see 46J10, 46J15}
46J20 - Ideals, maximal ideals, boundaries
 

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