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Sur le comportement, par torsion, des facteurs epsilon de paires

  Published:2001-12-01
 Printed: Dec 2001
  • Colin J. Bushnell
  • Guy Henniart
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Abstract

Soient $F$ un corps commutatif localement compact non archim\'edien et $\psi$ un caract\`ere additif non trivial de $F$. Soient $n$ et $n'$ deux entiers distincts, sup\'erieurs \`a $1$. Soient $\pi$ et $\pi'$ des repr\'esentations irr\'eductibles supercuspidales de $\GL_n(F)$, $\GL_{n'}(F)$ respectivement. Nous prouvons qu'il existe un \'el\'ement $c= c(\pi,\pi',\psi)$ de $F^\times$ tel que pour tout quasicaract\`ere mod\'er\'e $\chi$ de $F^\times$ on ait $\varepsilon(\chi\pi\times \pi',s,\psi) = \chi(c)^{-1}\varepsilon(\pi\times\pi',s,\psi)$. Nous examinons aussi certains cas o\`u $n=n'$, $\pi'=\pi^\vee$. Les r\'esultats obtenus forment une \'etape vers une d\'emonstration de la conjecture de Langlands pour $F$, qui ne fasse pas appel \`a la g\'eom\'etrie des vari\'et\'es modulaires, de Shimura ou de Drinfeld. Let $F$ be a non-Archimedean local field, and $\psi$ a non-trivial additive character of $F$. Let $n$ and $n'$ be distinct positive integers. Let $\pi$, $\pi'$ be irreducible supercuspidal representations of $\GL_n(F)$, $\GL_{n'}(F)$ respectively. We prove that there is $c= c(\pi,\pi',\psi)\in F^\times$ such that for every tame quasicharacter $\chi$ of $F^\times$ we have $\varepsilon(\chi\pi\times \pi',s,\psi) = \chi(c)^{-1}\varepsilon(\pi\times\pi',s,\psi)$. We also treat some cases where $n=n'$ and $\pi'=\pi^\vee$. These results are steps towards a proof of the Langlands conjecture for $F$, which would not use the geometry of modular---Shimura or Drinfeld---varieties.
Keywords: corps local, correspondance de Langlands locale, facteurs epsilon de paires corps local, correspondance de Langlands locale, facteurs epsilon de paires
MSC Classifications: 22E50 show english descriptions Representations of Lie and linear algebraic groups over local fields [See also 20G05] 22E50 - Representations of Lie and linear algebraic groups over local fields [See also 20G05]
 

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